受験対策アプリをインストールしたスマホの機種変更をする場合、再度購入しなければならないのでしょうか?

すでにアプリを購入されている場合は、機種を変更されても無償でダウンロードできます。
次の手順で試していただけますでしょうか。

Apple StoreまたはGoogle Playから、購入された時と同じアカウントでアプリを再インストールしてください。
既に食品安全検定の受験アプリが存在する場合は、アンインストールしてから、再インストールしてください。
アプリがダウウンロード可能である旨の表示に変わっていると思います。
機種変時の再インストール後に、iPhoneの場合はダウンロード画面で「右上のリストアボタンをタップする」操作が必要です。それにより購入済み問題の「詳細を見る」が「ダウンロード」ボタンに変わります。
Androidの場合は、この操作は不要です。

うまくいかない場合は、食品安全検定協会事務局までご連絡ください。
TEL:03-5542-8423
https://fs-kentei.jp/contact/